残数法是一种常见的数学方法，可以用于求解常微分方程。它的基本思路是将待求解的函数表示为幂级数形式，然后通过逐项代入微分方程，得到递推关系式进而求解。
对于消除速度常数和吸收速度常数的求解，可以通过残数法来实现。具体步骤如下：
1. 将待求解的速度常数表示为幂级数形式：
( k(t) = sum_{n=0}^{infty} a_n t^n )
2. 代入微分方程中，得到：
( frac{dk}{dt} = -ak + b )
3. 将上述幂级数形式代入微分方程，可以得到一系列递推关系式：
( sum_{n=1}^{infty} n a_n t^{n-1} = -a sum_{n=0}^{infty} a_n t^n + b )
4. 整理后，可以得到递推关系式：
( (n+1) a_{n+1} = -a a_n + frac{b}{t} )
5. 通过上述递推关系式，可以求解出每个系数 ( a_n )。
6. 最后，将求解得到的系数 ( a_n ) 代入到幂级数形式中，即可得到速度常数 ( k(t) )。
注意：在残数法的求解过程中，需要考虑级数的收敛性，因此需要对幂级数的收敛半径进行分析。此外，求解出的速度常数还需要进行验证，通常可以通过代入原微分方程进行验证。
总结来说，残数法求解消除速度常数和吸收速度常数的思路是通过将待求解的函数表示为幂级数形式，然后将其代入微分方程中得到递推关系式，通过求解递推关系式得到系数，最终得到速度常数的表达式。
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